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課程內(nèi)容

《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（一）》
教學(xué)目的：
1、理解橢圓的定義、明確焦點(diǎn)、焦距的概念。
2、熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，會(huì)根據(jù)所給的條件畫出橢圓的草圖并確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。
3、能由橢圓定義推到橢圓的方程。
4、啟發(fā)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，善于獨(dú)立思考，學(xué)會(huì)分析問題和創(chuàng)造地解決問題；培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力和邏輯思維能力。
教學(xué)重點(diǎn)：橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程
教學(xué)難點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)
一、情景引入
問題：2008年9月28日上午9時(shí)，“神舟七號(hào)”載人飛船順利升空，實(shí)現(xiàn)多人航天飛行，標(biāo)志著我國航天事業(yè)又上了一個(gè)新臺(tái)階，請(qǐng)問：“神舟七號(hào)”飛船的運(yùn)行軌道是什么？
生活中還有哪些東西像橢圓呢？
二、實(shí)驗(yàn)操作
1、玻璃杯裝半杯水，適度傾斜，觀察水面是個(gè)什么形狀？
2、手工操作演示橢圓的形成：取一條定長的細(xì)繩，把它的兩端固定在畫圖板上的兩點(diǎn)，當(dāng)繩長大于兩點(diǎn)間的距離時(shí)，用鉛筆把繩子拉近，使筆尖在圖板上慢慢移動(dòng)，就可以畫出一個(gè)橢圓。
橢圓的形成：


取一條長尾2a的細(xì)繩，把它的兩端固定在畫圖板上的F₁和F₂兩點(diǎn)，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動(dòng)。
橢圓的定義：
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F₁、F₂的距離的和等于常數(shù)（大于|F₁F₂|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。
這兩個(gè)定點(diǎn)F_1、F₂叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距（一般用2c表示）。
|MF₁|+|MF₂|=2a
三、定義形成
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F₁、F₂的距離的和等于常數(shù)（大于|F₁F₂|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距。
橢圓的定義的再認(rèn)識(shí)
問題：假設(shè)與兩定點(diǎn)的距離之和為d，為什么要滿足d>2c呢？
（1）當(dāng)d=2c時(shí)，軌跡是什么？
（2）當(dāng)d<2c時(shí)，軌跡又是什么？
結(jié)論：當(dāng)d>|F₁F₂|時(shí)，是橢圓；
當(dāng)d=F₁F₂時(shí)，是線段；
當(dāng)d1F₂，軌跡不存在；
那么，如何求橢圓的方程呢？
如圖所示：F₁、F₂為兩定點(diǎn)，且|F₁F₂|=2c，求平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F₁、F₂距離之和為定值2a(2a>2c)的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。

解：以F₁、F₂所在直線為X軸，F(xiàn)₁、F₂的重點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則焦點(diǎn)F₁、F₂的坐標(biāo)分別為（-c）、(c,0)。
設(shè)M（x,y）為所求軌跡上的任意一點(diǎn)，則|MF₁|+|MF₂|=2a
即：√（（x+c）²+y²）+√（（x-c）²+y²）=2a
所以：√（（x+c）²+y²）=2a-√（（x-c）²+y²）
兩邊平方得：：（（x+c）²+y²）=4a²-4a√（（x-c）²+y²）+(x-c)²+y²
即：a²-cx=a√((x-c)²+y²)
兩邊平方得：a⁴-2a²cx+c²x²=a²x²-2a²cx+a²c²+a²y²
即：(a²-c²)x²+a²y²=a²(a²-c²)
因?yàn)?a>2c，即a>c，所以a²-c²>0，令a²-c²=b²，其中b>0，代入上式可得：
b²x²+a²y²=a²b²
兩邊同時(shí)除以a²b²得：
x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的再認(rèn)識(shí)
（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個(gè)分式的平方和，右邊是1；
（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個(gè)參數(shù)a、b、c滿足a²=b²+c²。
（3）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出三個(gè)參數(shù)a、b、c的值。
（4）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，x²與y²的分母哪一個(gè)大，則焦點(diǎn)在哪一個(gè)軸上。
例題精析
例1、填空：
（1）已知橢圓的方程為x²/25+y²/16=1，則a=5,b=4,c=3,焦點(diǎn)坐標(biāo)為（3,0），（-3,0）焦距等于6。若CD為過焦點(diǎn)F₁的弦，則F₂CD的長為20

（1）已知橢圓的方程為x²/4+y²/5=1，則a=√5,b=2,c=1,焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0），（-1,0）焦距等于2。曲線上點(diǎn)P到左焦點(diǎn)F₁的距離為3，則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)F₂的距離等于2√5-3，則F₁PF₂的周長為2√5+2。
例2、求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）滿足a=4，b=1，焦點(diǎn)在X軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²/16+y²=1
（2）滿足a=4，c=√15，焦點(diǎn)在Y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²/16+x²=1
例4、化簡
√（x²+(y-3)²）+√(x²+(y-3)²)=10
分析：點(diǎn)M（x,y）到兩定點(diǎn)（0，-3）（0,3）的距離之和為定值10
|MF₁|+|MF₂|=10
答案x²/25+y²/16=1
例5：動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F₁（-4,0），F(xiàn)₂（4,0）的距離之和為8，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為（B）
 A、橢圓
B、線段F₁F₂
C、直線F₁F₂
D、不能確定
例6：求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-4,0）（4,0）橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之和等于10
解：因?yàn)榻裹c(diǎn)坐標(biāo)在X軸上，所以標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)為：
x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)
∵2a=10,2c=8
∴a=5,c=4
∴b²=a²-c²=5²-4²=9
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：
x²/25+y²/9=1
小結(jié)：
1、橢圓的定義及焦點(diǎn)、焦距的概念
2、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)
y²/a²+x²/b²=1(a>b>0)
3、標(biāo)準(zhǔn)方程的簡單應(yīng)用