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《獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用》
對于性別變量，其取值為男和女兩種，這種變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，你這類變量稱為分類變量。在現(xiàn)實(shí)生活中，分類變量是大量存在的，例如是否吸煙，宗教信仰、國籍，等等。
在日常生活中，我們常常關(guān)心兩個分類變量之間量來有關(guān)系，例如，吸煙與肺癌與吸煙是否有關(guān)系？性別對于是否喜歡數(shù)學(xué)課程有影響？等等。
探究：為調(diào)查吸煙是否對肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機(jī)地調(diào)查了9965人，得到如下結(jié)果（單位：人）
表1-7吸煙與患肺癌列聯(lián)表
| 不患肺癌 | 患肺癌 | 總計 | |
| 不吸煙 | 7775 | 42 | 7817 |
| 吸煙 | 2099 | 49 | 2148 |
| 總計 | 9874 | 91 | 9965 |
像表1-7這樣列出的兩個分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表，由吸煙情況和患肺癌情況的列聯(lián)表可以粗略估計出：在不吸煙者中，有0.54%患有肺癌；在吸煙者中，有2.28%患有肺癌，因此，直觀上可以得出結(jié)論；吸煙者和不吸煙者患肺癌可能存在差異。
與表格相比，三維柱形圖和二維條形圖能更直觀的=地反映出相關(guān)數(shù)據(jù)的總體狀況。
圖1.2-1是列聯(lián)表的三維柱形圖，從中能清晰地看出各個頻數(shù)的相對大小。
作三維柱形圖要注意選擇恰當(dāng)?shù)囊暯?，以使每個柱體都能看到。
圖1.2-2是疊在一起的二維條形圖，其中綠色條高表示不患肺癌的人數(shù)，黒色條高表示患肺癌的人數(shù)，從圖中可以看出，吸煙者中患肺癌的比例高于不吸煙者中患肺癌的比例。
為了更清晰地表達(dá)這個特征，我們還可以用如下的等高條形圖表示兩個情況下患肺癌的比例，如圖1.2-3所示，在等高條形圖中，綠色的條高表示不患肺癌的百分比；黒色的條高表示患者肺癌的百分比。
上面我們通過分析數(shù)據(jù)和圖形，得到的直觀印象是吸煙和患肺癌有關(guān)，那么事實(shí)是否真的如此呢？或者說我們能夠以多大的把握認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)”呢？
為了回答上述問題我們先假設(shè)
Ho：吸煙與患肺癌沒有關(guān)系
用A來表示不吸煙，B表示不患肺癌，則“吸煙與患肺癌沒有關(guān)系”等價于“吸煙與患肺癌獨(dú)立”即Ho等價于P=（AB）=P（A）P（B）
把表1-7中的數(shù)字用字母代替，得到如下用字母表示的列聯(lián)表
| 不患肺癌 | 患肺癌 | 總計 | |
| 不吸煙 | a | b | a+b |
| 吸煙 | c | d | c+d |
| 總計 | a+c | b+d | a+b+c+d |
為了使不同樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評判標(biāo)準(zhǔn)，基于上面的分析，我們構(gòu)造一個隨機(jī)變量
K2=n（ad-bc）2/（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）(1)
其中n=a+b+c+d為樣本容量
若HO成立，即“吸煙與肺癌者沒有關(guān)系”，則K2應(yīng)該很小現(xiàn)在，根據(jù)表1.7中的數(shù)據(jù)，利用公式（1）計算得K2的觀測值為
k=｛9965×（7775×49-42×2099）2｝/｛7817×2148×9848×91｝=56.632
這個值是不是很大呢？
在Ho成立的情況下，統(tǒng)計學(xué)家估算出如下概率P（K2≥6.635）≈ 0.01（2）
即在Ho成立的情況下K2的值大于6.635的概率非常小近似于0.01，也就是說，在Ho成立的情況
正下對隨機(jī)變量K2進(jìn)行多次觀測，觀測值超過6.635的頻率約為1/100。
在（2）中n越大，近似程度越高，在實(shí)際應(yīng)用中，通常要求a，b，c，d都不小于5。
思考 如果K2≥6.635，就斷定HO不成立，這種判定出錯的可能性有多大？
現(xiàn)在觀測值k≈56.632遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于6.635，在Ho成立的條件下，由（2）式可知能夠出現(xiàn)這樣的觀測值班的概率不超過0.01，因此，我們有99%的把握認(rèn)為Ho不成立，即有99%的把握認(rèn)為“吸煙與肺癌有關(guān)系”。
上面這種利用隨機(jī)變量K2來確定在多大程度上可以認(rèn)為“兩個分類變量有關(guān)系”的方法稱為兩個分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)。
獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想類似于反證法，要確認(rèn)“兩個分類變量有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信程度，首先假設(shè)該結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論“兩個分類變量沒有關(guān)系”成立，在該假設(shè)下構(gòu)造的隨機(jī)變量K2應(yīng)該很小，如果由觀測數(shù)據(jù)計算得到K2的觀測值很大，則在一定程度上說明假設(shè)不合理，根據(jù)隨機(jī)變量K2的含義，可以通過概率（2）式評價該假設(shè)不合理的程度，由實(shí)際計算出的k﹥6.635，說明假設(shè)不合理的程度為99%，即“兩個分類變量有關(guān)系”這結(jié)論成立的可信程度約為99%。
思考 利用上面的結(jié)論，你能從列聯(lián)表的三維柱形圖中看出兩個分類變量是否相關(guān)系？
一般地，假設(shè)兩個分類變量X和Y，它們值域分別為｛x1,x2｝和｛y1，y2｝，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為2×2列聯(lián)表）為：
表1-9 稱為2×2列聯(lián)表
| y1 | y2 | 總計 | |
| x1 | a | b | a+b |
| x2 | c | d | c+d |
| 總計 | a+c | b+d | a+b+c+d |
若要推斷的結(jié)論為H1：“X與Y有關(guān)系”，可以按如下步驟判斷結(jié)論H1成立的可能性：
1.通過三維柱形圖和二維條形圖，可以粗略地判斷兩個分類變量是否有關(guān)，但是這種判斷無法精確地結(jié)出所得結(jié)論的可靠程度。
（1）在三維柱形圖中，主要對角線上兩個柱形高度的乘積ad與副對角線上的兩個想得開高度的乘積bc相差越大H1成立的可能性越大。
（2）在二維條形圖中，可以估計滿足條件X =x1的個體中具有Y=y1的個體所占的比例a/（a+b)，也可以估計滿足條件X=x2的個體中具體有Y=y1體所占比例c/（c+d）兩個比例的值相差越大，H1成立的可能性越大。
2.可以利用獨(dú)立檢驗(yàn)來考察兩個分類變量是否有關(guān)系，并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度，具體做法是：根據(jù)觀測數(shù)據(jù)計算則（1）式給出的檢驗(yàn)隨機(jī)變量K2的值k，其值越大說明“X與Y有關(guān)系”成立的可能性越大，當(dāng)?shù)玫降挠^測數(shù)據(jù)a，b，c,d都不小于5時，可以通過查閱
下表（1-10）來確定結(jié)論“X與Y有關(guān)系”的可信程度。
例如
（1）如果k﹥10.828，就有99.9%把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；
（2）如果k﹥7.879，就有99.5%把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；
（3）如果k﹥6.635，就有99%把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；
（4）如果k﹥5.024，就有97.5%把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；
（5）如果k﹥3.841，就有95%把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；
（6）如果k﹥2.706，就有90%把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；
如果k≤2.706，就認(rèn)為沒有充分的證據(jù)顯示“X與Y有關(guān)系”。
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孫老師
男，中教高級職稱
在教學(xué)中勤懇敬業(yè)，教學(xué)成績優(yōu)異，多次被評為“優(yōu)秀數(shù)學(xué)教師”稱號。
