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《基本初等函數(shù)及函數(shù)的應(yīng)用（一）》

真題熱身

1.   設(shè)a＞0 a≠1，則“函數(shù)f（x）=a2在R上是減函數(shù)”，是“函數(shù)g（x）=（2-a）x3在R上是增函數(shù)”的（A）

A  充分不必要條件    B 必要不充分條件    C 充分必要條件   D 既不充分也不必要條件

2.  已知函數(shù)f（x）=e^|x-a| （a為常數(shù)），若f（x）在區(qū)間[1,+∞﹚上是增函數(shù)，則a的取值范圍是（-∞，1]        

   【解析】根據(jù)函數(shù)f（x）=e^|x-a|=e^x-a，，x≥a   e^-x+a，x＜a看出當(dāng)x≥a時(shí)，函數(shù)增函數(shù)，而已知函數(shù)f（x）在區(qū)間[1,+∞﹚上是增函數(shù)，所以a的取值范圍是（-∞，1]

    本題主要考查指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷，分類討論在求解數(shù)學(xué)問題中的運(yùn)用。

3   函數(shù)f（x）=㏒₅（2x+1）的單調(diào)增區(qū)間是（-，+∞）

4   已知函數(shù)y=f（x）的周期為2，當(dāng)x∈[-1,1]時(shí)，f（x）=x2，那么函數(shù)y=f（x）的圖像與函數(shù)y=|㏒x|的圖像的交點(diǎn)共有（10 ）

【解析】如圖，作出圖像可知y=f（x）與y=|㏒x|的圖像共有10個(gè)交點(diǎn)

  考點(diǎn)整合

1.   二次函數(shù)

2. （1）求二次函數(shù)在某段區(qū)間上的最值時(shí)，要利用好數(shù)形結(jié)合，特別是含參數(shù)的兩種類型：“定軸動區(qū)間，定區(qū)間動軸”的問題，抓住“三點(diǎn)一軸”，三點(diǎn)指的是區(qū)間兩個(gè)和區(qū)間重點(diǎn)，一軸指的是對稱軸

（2）注意三個(gè)“二次”的相互轉(zhuǎn)化解題

（3）二次方程實(shí)根分布問題，抓住四點(diǎn)：“開口方向、判斷式⊿、對稱軸位置、區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值正負(fù)。”

  3. 函數(shù)與方程

（1）函數(shù)的零點(diǎn)

 對于函數(shù)f（x），我們把使f（x）=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)f（x）的零點(diǎn)。

（2）零點(diǎn)存在性定理

 如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a,b]上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f（a）*f（b）＜0，那么函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a,b）內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈（a，b）使得f（c）=0

  注意以下兩點(diǎn)：

① 滿足條件的零點(diǎn)可能不唯一

② 不滿足條件時(shí)，也可能有零點(diǎn)

3. 函數(shù)思想的應(yīng)

(1)   方程根的分布或根的個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為相應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)的分布或個(gè)數(shù)，對于一元二次方程實(shí)根分布的解決思路及方法是：

設(shè)二次方程對應(yīng)的二次函數(shù)，然后利用其圖形（注意開口的確定）的特征，對判別式、給定區(qū)間邊界的函數(shù)值、對稱軸與該區(qū)間的關(guān)系作全面分析，列出不等式關(guān)系，從而解問題。

（2）不等式恒成立問題：a＞f（x）恒成立=>a>[f(x)]_max;

區(qū)別：a＞f（x）有解=> a>[f(x)]_max

a=f（x）有解=>a∈f（x）的值域

（3）變換主元法：這是函數(shù)思想的一個(gè)直接應(yīng)用

（4）證明不等式

要證f（x）＞g（x），只需證f（x）-g（x）＞0，即證新函數(shù)v（x）= f（x）-g（x）的最小值大于0，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，而這是導(dǎo)數(shù)的基本題型

（5）有些比較幾個(gè)代數(shù)式或大小的題目，需要構(gòu)造對應(yīng)的函數(shù)，利用函數(shù)圖象或函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較。

分類突破

一、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

例 1 已知函數(shù)f（x）=ax2-|x|+2a-1（a為實(shí)常數(shù)）

（1）若a=1，作出函數(shù)f（x）的圖象；

（2）設(shè)f（x）在區(qū)間[1,2]上的最小值為g（a），求g（a）的表達(dá)式

（3）設(shè)h（x）= ，若函數(shù)h（X）在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解 （1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x2-|x|+1=x2+x+1，x＜0；x2-x+1，x≥0.作圖（如下圖所示）

（2）當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，f（x）=ax2-x+2a-1

若當(dāng)a=0，則f（x）=-x-1在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù)

g（a）=f（2）=-3

若a≠1，則f（x）=a（x-）2+2a--1

f（x）圖象的對稱軸是直線x=

當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù)，g（a）=f（2）=6a-3

當(dāng)0＜＜1，即a＞時(shí)，f（x）在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)

g(a)=f(1)=3a-2

當(dāng)1≤≤2，即≤a≤時(shí)，g（a）=f（）=2a--1

當(dāng)＞2，即0＜a＜時(shí)，f（x）在f（x）在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù)

g（a）=f（2）=6a-3

綜上可得g（a）=6a-3，a＜；2a--1，≤a≤；3a-2，a＞

（3）求導(dǎo)。[-,1]

歸納拓展

本題是一道函數(shù)的綜合問題，涉及函數(shù)的圖象，函數(shù)的最值，恒成立問題，第（2）問中不要忘記對a=0的討論，同時(shí)對于二次函數(shù)的含參的最值問題；定區(qū)間動軸、動區(qū)間定軸，東區(qū)間動軸動開口等各類問題的研究方法注意總結(jié)，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性的常用方法。

變式訓(xùn)練1 設(shè)函數(shù)f（x）=x2+|2x-a|（x∈R，a為實(shí)數(shù)）

（1）若f（x）為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；

（2）設(shè)a＞2，求函數(shù)f（x）的最小值

解 （1）由已知f（-x）=f（x），

即|2x-a|=|2x+a|，解的a=0

（2）f（x）=x2+2x-a，x≥a；x2-2x+a，x＜a

當(dāng)x≥a時(shí)，f（x）=x2+2x-a=（x+1）2-（a+1）

由a＞2，x≥a，得x＞1，從而x＞-1，故f（x）在x≥a時(shí)單調(diào)遞增，f（x）的最小值為f（）=

當(dāng)x＜a時(shí)，f（x）= x2-2x+a=（x-1）2+（a-1）

故當(dāng)1≤x≤a時(shí)，f（X）單調(diào)遞增，當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）單調(diào)遞減

則f（X）的最小值為f（1）=a-1

由-（a-1）=（a-2）2＞0，知f（X）的最小值為a-1.