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九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第1章《圖形的相似》1.3 相似三角形的性質(zhì)
第一章 圖形的相似
1.3 相似三角形的性質(zhì)
交流與發(fā)現(xiàn)
如圖1-23，已知△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，AD與A′D′分布是對(duì)應(yīng)邊BC與B′C′上的高。
（1）除△ABC∽△A′B′C′以外，圖中還有幾對(duì)相似三角形？為什么？
（2）AD與A′D′的比與相似比k有什么關(guān)系？
（3）在△ABC∽△A′B′C′中，分別作出∠A與∠A′的平分線以及BC與B′C′上的中線，探索對(duì)應(yīng)的角平分線
的比，對(duì)應(yīng)邊上中線的比分別與相似比k之間的關(guān)系，說明你的理由，與同學(xué)交流。
（4）△ABC與△A′B′C′的面積的比S△ABC:S△A′B′C′與相似比k有怎樣的關(guān)系？
（5）歸納（2）（3）（4）的結(jié)論，能得到相似三角形的什么性質(zhì)？
相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比；面積的比等于相似比的平方。
例1
如圖1-24，在△ABC中，DE//BC,AD:DB=3：1，△ABC的面積為48，求△ADE的面積。
解 在△ADE和△ABC中，∠A=∠A，由DE//BC，可知∠ADE=∠B，
根據(jù)判定定理1，△ADE∽△ABC.
于是S△ADE/S△ABC=（AD/AB）2.
由AD:DB=3：1，得AD=3DB,
所以AD/AB=3DB/ADB=3/4.
因?yàn)镾△ABC=48，所以S△ADE/48=（3/4）2.
解得
S△ADE=9/16×48=27.
例2
如圖1-25，有一塊銳角三角形余料ABC,它的BC=12cm，高AD=8cm。
現(xiàn)要用它裁出一個(gè)正方形工件，使正方形的一邊在BC上，其余的兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上，求裁出的正方
形工件的邊長(zhǎng)。
解 在△ABC中，設(shè)裁出的正方形為PQMN.
∵PN//BC ∴∠APN=∠B.
∵∠A=∠A，∴△APN∽△ABC.
∴PN/BC=AE/AD（相似三角形的性質(zhì)定理）.
設(shè)PN=x，則AE=8-x.
∵BC=12，AD=8，
∴x/12=8-x/8.
解得x=24/5.
挑戰(zhàn)自我
（1）在例2中，如果并排放置的由2個(gè)全等的小正方形組成的矩形內(nèi)接于△ABC（圖1-26），那么小正方形
的邊長(zhǎng)為多少？并排放置3個(gè)全等的小正方形呢？
1.24/5
2.24/7
3.24/9
...
n. 24/2n+3
練習(xí)
1.兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的比是1:4，它們對(duì)應(yīng)高的比是______,面積比是______。
2.兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比是2:3，它們面積的和為78cm2，求較大的三角形的面積。
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崔老師
男，中教高級(jí)職稱
市優(yōu)秀教師、骨干教師，數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人。在教學(xué)中注重學(xué)生自學(xué)能力和數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，教學(xué)成績(jī)突出。
