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課程內(nèi)容

《排列組合復(fù)習(xí)》
復(fù)習(xí)鞏固
    1.分類計(jì)數(shù)原理（加法原理）
完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有m₁種不同的的方法，在第2類辦法中有m₂種不同的方法，…，在第n類辦法中有m_n種不同的方法，那么完成這件事共有：N=m₁+m₂+…+m_n種不同的方法。
    2.分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）
完成一件事，需要分成n個(gè)步驟，做第1步有m₁種不同的方法，做第2步有m₂種不同的方法，…，做第2步有m_n種不同的方法，那么完成這件事共有：N=m₁m₂…m_n種不同的方法。
    3.分類計(jì)數(shù)原理分步計(jì)數(shù)原理區(qū)別
分類計(jì)數(shù)原理方法相互獨(dú)立，任何種方法都可以獨(dú)立完成這件事。
分步計(jì)數(shù)原理各步相互依存，每一步中的方法完成事件的一個(gè)階段，不能完成整個(gè)事件。
排列：從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出ｍ個(gè)元素的一個(gè)排列。
排列數(shù)：從ｎ個(gè)不同元素中取出ｍ（m≤ｎ）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從ｎ個(gè)不同元素中取出ｍ個(gè)元素的排列數(shù)。
排列數(shù)公式：
A^m_n＝ｎ（ｎ-1）（n-2）…（n-ｍ+1）＝n！/（ｎ-ｍ）！
組合：從ｎ個(gè)不同元素中取出ｍ（m≤n）個(gè)元素，并成一組，叫做從ｎ個(gè)不同元素中取出ｍ個(gè)元素的一個(gè)組合。
組合數(shù)：從ｎ個(gè)不同元素中取出ｍ（m≤n）個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從ｎ個(gè)不同元素中取出ｍ個(gè)元素的組合數(shù)。
組合數(shù)公式和兩個(gè)重要性質(zhì)
C^m_n＝Ａ^ｍ_ｎ/A^m_n＝n！/ｍ?。ǎ?ｍ）?。剑?sup>ｎ-ｍ_ｎ
強(qiáng)調(diào)：排列——次序性；
　　　組合——無(wú)序性。
解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)首先要看是否與順序有關(guān)，從而確定是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題，必要時(shí)要利用分類和分步計(jì)數(shù)原理。
在處理問(wèn)題時(shí)，一般可采用直接和間接兩種思維形式，從而尋求有效的解題途徑。
解決排列組合性問(wèn)題的一般過(guò)程如下：
1.認(rèn)真審題弄清要做什么？
2.怎么做才能完成所要做的事，即采取分步還是分類，或是分步與分類同時(shí)進(jìn)行，確定分多少步及多少類。
3.確定每一步或每一類是排列問(wèn)題（有序）還是結(jié)合（無(wú)序）問(wèn)題，元素總數(shù)多少及取出多少個(gè)元素。
解決排列組合綜合性問(wèn)題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略，以下講解這些常用策略。
一、特殊元素位置優(yōu)先策略（優(yōu)先法）
例1.，由1，2，3，4，5可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù)。
解：由于末位和首位有特殊要求，應(yīng)該優(yōu)先安排，以免不合要求的元素占了這兩個(gè)位置先排末位有C¹₃   然后排首位共有C¹₄  最后排其它位置共有A³₄  由分步計(jì)數(shù)原理得C¹₃C¹₄A³₄=288
位置分析法和元素分析法是解決排列組合問(wèn)題最常用也是最基本的方法，若以元素分析為主，需先安排特殊元素，再處理其它元素。若以位置分析為主，需先滿足特殊位置的要求，再處理其它位置，若有多個(gè)約束條件，往往是考慮一個(gè)約束條件的同時(shí)還要兼顧其它條件。
二.相鄰元素捆綁策略（捆綁法）
例2.7人站成一排，其中甲乙相鄰且丙丁相鄰，共有多少種不同的排列法。
解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個(gè)復(fù)合元素，同時(shí)丙丁也看成一個(gè)復(fù)合元素，再與其它元素進(jìn)行排列，同時(shí)對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排。
由分步計(jì)數(shù)原理可得共有A⁵₅A²₂A²₂=480種不同的排法。
三.不相鄰問(wèn)題插空策略（插空法）
例3：一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有4個(gè)舞蹈，2個(gè)相聲，3個(gè)獨(dú)唱，舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場(chǎng)，則節(jié)目的出場(chǎng)順序有多少種？
解：分兩步進(jìn)行第一步排2個(gè)相聲和3個(gè)獨(dú)唱共有（A55）種，第二步將4個(gè)舞蹈插入第一步排好的5個(gè)元素中間包含首尾兩個(gè)空位共有種（A46）不同的的方法。由分步計(jì)數(shù)原理，節(jié)目的不同順序共有（A⁵₅ A⁴₆）種。
元素相同問(wèn)題先把沒(méi)有位置要求的元素進(jìn)行排隊(duì)再把不相鄰元素插入中間和兩端。
四.重排問(wèn)題求冪策略
例4：把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車間實(shí)習(xí)，共有多少種不同的分法
解：完成此事共分六步：把第一名實(shí)習(xí)生分配到車間有7種分法，把第二名實(shí)習(xí)生分配到車間有7種法，依此類推，由分步計(jì)原理共有7⁶種不同的排法。
允許重復(fù)的排列問(wèn)題的特點(diǎn)是以元素為研究對(duì)象，元素不受位置的結(jié)束，可以逐一安排各個(gè)元素的位置，一般地n不同的元素沒(méi)有限制的安排在m個(gè)位置上的排列數(shù)為mⁿ種。
五.多排問(wèn)題直排策略
例5.8人排成前后排，每排4人，其中甲乙在前排，丁在后排，共有多少排法？
解：8人排前后兩排，相當(dāng)于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排。先在前4個(gè)位置排甲乙兩個(gè)特殊元素有（A²₄）種，再排后4個(gè)位置上的特殊元素有（A¹₄）種，其余的5人在5個(gè)位置上任意排列有（A⁵₅）種，則共有（A²₄A¹₄A⁵₅）種。
一般地，元素分成多排的排列問(wèn)題，可歸結(jié)為一排考慮，再分段研究。