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課程內(nèi)容

《二次式定理》
回顧：
（a+b）²=a²+2ab+b²
（a+b）³=（a+b）（a+b）（a+b）
        =（a+b）（a+b）（a+b）
        =a³+a²b+aba+ab²+ba²+bab+b²a+b³
        =a³+3a²b+3ab²+b³
（a+b）⁴=?             （a+b）¹⁰⁰=?
嘗試二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)：
觀察下面兩個(gè)公式，從右邊的項(xiàng)數(shù)，每項(xiàng)的次數(shù)、系數(shù)進(jìn)行研究，你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？
（a+b）²=a²+2ab+b²=C⁰₂a²+C¹₂ab+C²₂b²
（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³=C⁰₃a³+C¹₃ab+C²₃ab²+C³₃b³
項(xiàng)數(shù)比左邊次數(shù)多1；每項(xiàng)次數(shù)均為左邊指數(shù)，a，b指數(shù)降b升到 系數(shù)：
C⁰₂，C¹₂，C²₂，C⁰₃，C¹₃，C²₃，C³₃
猜想：（a+b）⁴=（a+b）（a+b）（a+b）（a+b）展開后，會(huì)是什么樣的呢？你能從項(xiàng)數(shù)，次數(shù)、系數(shù)這幾個(gè)方面談一談嗎？
①展開式中，每一項(xiàng)是怎樣得到的？
②既然這樣，每一項(xiàng)的次數(shù)都應(yīng)為幾次？（4次）展開后具有哪些形式的項(xiàng)呢？（a⁴，a³b，a²b²，a²b²，ab²，b⁴）
③每一項(xiàng)在展開式中出現(xiàn)多少次，也就是展開式中各項(xiàng)系數(shù)為什么？
探索：（a+b）⁴=（a+b）（a+b）（a+b）（a+b）在上面4個(gè)括號(hào)中：
每個(gè)都不取b，有C⁰₄種取法，a⁴的系數(shù)C⁰₄
恰有1個(gè)取b，有C¹₄種取法，a³b的系數(shù)C¹₄
恰有2個(gè)取b，有C²₄種取法，a⁴b²的系數(shù)C²₄
恰有3個(gè)取b，有C³₄種取法，ab³的系數(shù)C³₄
4個(gè)取b，有C⁴₄種取法，b⁴的系數(shù)C⁴₄
因此：（a+b）⁴=C⁰₄a⁴+C¹₄a³b+C²₄a²b₂+C³₄ab³+C⁴₄+b⁴
特點(diǎn)：項(xiàng)數(shù)比次數(shù)多1；每項(xiàng)次數(shù)為左邊指數(shù)4，a降b升；系數(shù)為：C⁰₄，C¹₄， C²₄，C²₄，C⁴₄
按上述規(guī)律，我們能將（a+b）ⁿ展開嗎？
（一）二項(xiàng)式定理
（a+b）ⁿ
=C⁰_na²+C¹_na^n-1b+C²_nn^n-2b²+…+C^r_na^n-rb^r+Cⁿ_nbⁿ
左邊多項(xiàng)式叫做（a+b）ⁿ的二項(xiàng)展開式；
C⁰_n，C¹_n，C²_n，…Cⁿ_n叫二項(xiàng)式系數(shù)；
C^r_na^n-rb^r叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，
注意：
1、弄清結(jié)構(gòu)定理自我特征：項(xiàng)數(shù)：n+1
                        次數(shù)：n，a降b升,和為n
                        系數(shù)：C^r_n
2、二項(xiàng)式系數(shù)的系數(shù)不同
   二項(xiàng)系數(shù)的組合數(shù)，而項(xiàng)的系數(shù)是該項(xiàng)數(shù)字因數(shù)。
3、①通項(xiàng)公式可用求展開式中任意一項(xiàng)，求時(shí)必需明確r=？，一般地，比所說的第幾項(xiàng)少1
②通項(xiàng)是針對(duì)（a+b）n的標(biāo)準(zhǔn)形式而言，而（b+a）n，（a-b）n的通項(xiàng)則分別為：T_r+1=C^r_nb^n-ra^r；T_r+1=C^r_na^n-r（-b）^r
4、在定理中，令a=1，b=x,則
（1+x）n=C⁰_n+C¹_nx+C²_nx²+…+C^r_nx^r+Cⁿ_nxⁿ