課程內(nèi)容
《定積分的概念》
一、復(fù)習(xí)引入
從曲邊梯形的面積及求變速直線運(yùn)動(dòng)路程的過程可以發(fā)現(xiàn)，它們都可以通過“四步曲”；分割、近似代替，求和、取極限得到解決，且都可以歸納為求一個(gè)特定形式和的極限：
曲邊梯形的面積
S=lim(Δx-0)（nΣi=1）F（ζt）Δx=lim(Δx-0)（nΣi=1）F（ζt）；
變速運(yùn)動(dòng)的路程
S=lim(Δx-0)（nΣi=1）V（ζi）Δx=lim(Δx-∞)（nΣi=1）1/nV（ζi）；
二、定積分的定義
事實(shí)上，許多問題都可以歸納結(jié)為求這種特定形式和的極限。一般地，我們有
如果函數(shù)在f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，用分點(diǎn)a=x0＜x1…＜xi-1＜xi＜…＜xn=b
將區(qū)間[a,b]等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間[xi-1,xi]上任意取一點(diǎn)ζi（i=1，2，……n）,作和式（nΣi=1）f（ζi）Δx=（nΣi=1）（b-a）/nf（ζi），當(dāng)nà∞時(shí)，上述和式無限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的定積分（definite int egral）,記作
∫10f（x）dx，即∫10x2dx=1/3。
同樣地，1.5.2中汽車在0≤t≤1這段時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的路程S=∫10V（t）dt=∫10（-t2+2）dt=5/3.
定積分的定義：∫10f（x）dx=lim(Δx-∞)（nΣi=1）(b-a)/nf（ζi）；
定積分的相關(guān)名稱：
∫——叫做積分號(hào)，
f（x）——叫做被積分函數(shù)，
f（x）dx——叫做被積表達(dá)式，
x——叫做積分變量，
a——叫做積分下限，
b——叫做積分下限，
[a,b]——叫做積分區(qū)間。
按定積分的定義，有
（1）由連續(xù)曲線y=f（x）（f（x）≥），直線x=a，x=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積為
S=∫10f（x）dx；
（2）設(shè)物體運(yùn)動(dòng)的速度V=V（t），則此物體在區(qū)間[a,b]內(nèi)運(yùn)動(dòng)的距離S為
s=∫10V（t）dt。
說明：
（1）定積分是一個(gè)數(shù)值，
它只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的記法無關(guān)，即
∫baf（x）dx=-∫baf（x）dx
三、定積分的剛體意義：
當(dāng)f（x）≥時(shí)，積分∫baf（x）dx在幾何上表示由y=f（x）、x=a、x=b與x軸所圍成的曲邊梯形的面積。
特別地，當(dāng)a=b時(shí)，有∫baf（x）dx=0。
當(dāng)f（x）≤0時(shí)，由y=f（x）、x=b與x軸所圍成的曲邊梯形位于x軸的下方，積分∫baf（x）dx在幾何上表示上述曲邊梯形面積的負(fù)值。
S=[∫baf（x）]dx
=-∫baf（x）dx
∫baf（x）dx=-S
四、定積分的基本性質(zhì)
性質(zhì)1。
∫bakf（x）dx=k∫baf（x）dx
性質(zhì)2。
∫ba[f（x）±g（x）]dx=∫baf（x）dx±∫ba（x）dx
性質(zhì)3.定積分關(guān)于積分區(qū)間具有可加性
∫baf（x）dx=∫baf（x）dx+∫ba（x）dx
∫baf（x）dx=∫baf（x）dx+∫baf（x）dx+∫baf（x）dx
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楊老師
女，中教高級(jí)職稱
教學(xué)功底扎實(shí)，教學(xué)經(jīng)驗(yàn)豐富，對(duì)知識(shí)體系有深厚的了解。
