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課程內(nèi)容

《全稱量詞與存在量詞》
思考？
下列語句是命題嗎？（1）與（3）之間，（2）（4）之間有什么關(guān)系？
（1）x﹥3；
（2）2x+1是整數(shù)；
（3）對所有的x∈R,x﹥3；
（4）對任意一個x∈z，2x+1是整數(shù)。
短語“對所有的”“對任意一個”在邏輯中通常叫做倒全稱量詞，并用符號“?”表示，含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題。
常見的全稱量詞還有：
“對所有的”“對任意一個”，“對一切”，“對每一個”，“任給”，“所有的”等。
通常，將含有變量x的語句用p(x)，q（x）r（x）表示，就是的取值范圍用M表示。
符號
全稱命題“對M中任意一個x有p(x)成立”可用符號簡記為 ?x∈M，(x)
讀作“對任意x屬于M，有p（x）成立”。
例1判斷下列全稱命題的真假：
（1）所有的素數(shù)是奇數(shù)；
（2）?x∈R，x²+1≥1；
（3）對每一個無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)。
存在量詞
思考？
下列語句是命題嗎？（1）與（3），（2）與（4）之間有什么關(guān)系？
（1）2x+1=3；
（2）x能被2和3整除；
（3）存在一個x∈R，使2x+1=3；
（4）至少有一個x∈Z，x能被2和3整除。
短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯上通常叫做存在量詞，并用符號“?”表示。含有存在量詞的命題，叫做特稱命題。
常見的存在量詞還有“有些”“有一個”“有的”“對某個”等。
例如，命題：
有的平行四邊形是菱形；
有一個素數(shù)不是奇數(shù)；
有的向量方向不定；
存在一個函數(shù)，既是偶數(shù)又是奇數(shù)；
有一些實數(shù)不能取對數(shù)。
特稱命題“存在M中的一個x，使P（x）成立”可用符號記為 ?x∈M，P（x） 讀作“存在一個x，使P（x）成立”。
例2 判斷下列特稱命題的真假
有一個實數(shù)x₀，使x₀²+2x₀+3=0。
存在兩個相交平面垂直于同一條直線；
有些整數(shù)只有兩個正因數(shù)。
含有一個量詞的命題的否定
如何區(qū)分命題的否定與否命題？
區(qū)別：
①、概念：命題的否定琖是直接對命題進行否定；而否命題則是原命題的條件和結(jié)論分別否定后所組成的命題。
②、構(gòu)成：對于“若P，則q”形式的命題，其否定命題為“若P,則┒q”也就是不改變條件，而否定結(jié)論；而其否命題則為“若非P，則非q”,也就是條件和結(jié)論都否定。
③，真值：否定命題的真值與原命題的相反；而否命題的真值與原命題無關(guān)。
探究
寫出下列命題的否定
1）所有的矩形都是平行四邊形；?x∈M，P(x)
2）每一個素數(shù)過都是奇數(shù)；    ?x∈M，P(x) 
3）?x∈R,x²-2x+1≥0         ?x∈M，P(x)
否定：
1）所有的矩形都是平行四邊形；?x∈M，┒P（x）
2）每一個素數(shù)過都是奇數(shù)；    ?x∈M，┒P（x）  
3）?x∈R,x2-2x+1≥0         ?x∈M，┒P（x）
這些命題和它們的否定在形式上有什么變化？
從命題形式上牛耕，這三個命題全稱的否定都成了特稱命題。
一般地，對于含有一個量詞的全稱命題的否定，有下面的結(jié)論：
全稱命題P：?x∈M，P(x)  它的否定┒P：?x∈M，┒P（x）
例3 寫出下列全稱命題的否定：
（1）P：所有能被3整除的整數(shù)教師奇數(shù)；
（2）P：第一個四邊形的四個頂點共圓；
（3）P：對任意x_∈Z,x²的個位數(shù)字不等于3。
探究
寫出下列命題的否定
1）有些實數(shù)的絕對值是正數(shù)；?x∈M，P（x）
2）某些平行四邊形是菱形；  ?x∈M，P（x）
3）?xR，x²+1<0            ?x∈M，P（x）
否定
1）有些實數(shù)的絕對值是正數(shù)；?x∈M，┒P(x)
2）某些平行四邊形是菱形；  ?x∈M，┒P(x) 
3）?xR，x2+1<0            ?x∈M，┒P(x)
這些命題和它們的否定形式上有什么變化？
從命題琖上看，這三個特稱命題的否定都變成了全稱命題。
一般地，對于含有一個量詞的特稱命題的否定，有下面的結(jié)論：
特稱命題P：?x∈M，P（x）  它的否定┒P：?x∈M，┒P(x)
特稱命題的否定是全稱命題。
例4 寫出下列特稱命題的否定
（1）P：?x∈R，x²+2x+2≤0；
（2）有的三角開是等邊三角形；
（3）有一個素數(shù)含三個正因數(shù)。