課程內(nèi)容
《拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》
一、復(fù)習(xí)回顧
1、拋物線(xiàn)的定義
動(dòng)點(diǎn)M與一個(gè)定點(diǎn)F的距離和它到一條直線(xiàn)L的距離的比是常數(shù)e=1，則這個(gè)點(diǎn)的軌跡是拋物線(xiàn)。
定點(diǎn)F是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)；
定直線(xiàn)L叫做拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)；
常數(shù)e=1拋物線(xiàn)的離心率。
y2=2Px P﹥0是焦準(zhǔn)距
拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程
2、拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程
| 標(biāo)準(zhǔn)方程 | y2=Px(p﹥0) | y2=-Px(P﹥0) | x2=2Py(P﹥0) | x2=-2Py(P﹥0) |
| 圖形 |  |
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| 焦點(diǎn) | F（P/2，0） | F（-P/2，0） | F（0，P/2） | F（-0，P/2） |
| 準(zhǔn)線(xiàn) | x=-P/2 | x=P/2 | y=-P/2 | y=P/2 |
3、橢圓和雙曲線(xiàn)的性質(zhì)：
| 性質(zhì) 方程 | x2/a2+y2/b2=I(a﹥b﹥0) | x2/a2-y2/b2=I(a﹥0，b﹥0) |
| 圖形 |  |
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| 范圍 | -a≤x≤a,-b≤v≤b | x≤-a或x≥a,y ∈R |
| 對(duì)稱(chēng)性 | 關(guān)于Xx，y軸用原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) | 關(guān)于x，y軸及原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) |
| 頂點(diǎn)坐標(biāo) |
A1（-a，0），A2（a，0） |
A1（-a，0），A2（a，0） A1A2叫實(shí)軸B1B2叫虛軸 |
| 離心率 | e=e/a，（0＜e＜1） | e=e/a，（e﹥1） |
二、講授新課
以?huà)佄锞€(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2P經(jīng)（P﹥0）來(lái)研究它的幾何性質(zhì)。
（1）范圍
因?yàn)镻﹥0，由方程可知x≥0，所以?huà)佄锞€(xiàn)在y軸的右側(cè)，當(dāng)x的值增大時(shí)∣y∣也增大，這說(shuō)明拋物線(xiàn)向右上方和右下方無(wú)限延伸。
（2）對(duì)稱(chēng)性
以-y代y，方程不變，所以?huà)佄锞€(xiàn)關(guān)于x對(duì)稱(chēng)，我們把拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸叫做拋物線(xiàn)的軸。
（3）頂點(diǎn)
拋物線(xiàn)與它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，在方程中，當(dāng)y=0時(shí)，x=0，因此拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn)。
（4）離心率
拋物線(xiàn)上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離和它互準(zhǔn)線(xiàn)的距離的比，叫做拋物線(xiàn)的離心率，由拋物線(xiàn)的定義可知e=1。
根據(jù)上表中拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程的不同形式與圖形，焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線(xiàn)方程對(duì)應(yīng)關(guān)系如何判斷拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)位置，開(kāi)口方向？
第一：一次項(xiàng)的變量如為X（或Y），則X軸（或Y軸）為拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，焦點(diǎn)就在對(duì)稱(chēng)軸上！
第二：一次項(xiàng)的系數(shù)決定了開(kāi)口方向。
特點(diǎn)：
1、拋物線(xiàn)只位于送修坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它可以無(wú)限延伸，但它沒(méi)有漸近線(xiàn)；
2、拋物線(xiàn)只有一條對(duì)稱(chēng)軸，沒(méi)有對(duì)稱(chēng)中心；
3、拋物線(xiàn)只有一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線(xiàn)；
4、拋物線(xiàn)的離心率是確定的e=1；
5、拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程中的P對(duì)拋物線(xiàn)開(kāi)口的影響。
P越大，開(kāi)口越開(kāi)闊——本質(zhì)是成比例地放大！
三、例題選講
例1，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是坐標(biāo)軸，并且過(guò)點(diǎn)M（2，-2√2）的拋物線(xiàn)有幾條，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。
當(dāng)焦點(diǎn)在x（或y）軸上，開(kāi)口方向不定時(shí)，設(shè)為y2=mxz（m≠0）{或x2=my(m≠0)}，可避免討論。
例2，（1）過(guò)拋物線(xiàn)y2=8x的焦點(diǎn)，作傾斜角為45度的直線(xiàn)，則被拋物線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為（ ）。
（2）過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)做傾斜角為Q的直角線(xiàn)L，設(shè)L交拋物線(xiàn)于A,B兩點(diǎn)，（1）求∣AB∣；（2）求∣AB∣的最小值。
思考：通徑是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦中最短的弦嗎？
例3、過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)y2=2Px(P﹥0)于A，B兩點(diǎn)，判斷與AB為直徑的圓準(zhǔn)線(xiàn)的位置關(guān)系。
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朱老師
男，中教高級(jí)職稱(chēng)
對(duì)高中數(shù)學(xué)的基本概念和整體知識(shí)結(jié)構(gòu)有清晰地把握，從高考的高度分析講解各大知識(shí)板塊。
