課程內(nèi)容
《函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)》
（一）復(fù)習(xí)
一般地，函數(shù)y=f（x）在某個(gè)區(qū)間（a，b）內(nèi)
1）如果恒有f′（x）﹥0，那么y=f（x）在這個(gè)區(qū)間（a，b）內(nèi)單調(diào)遞增；
2）如果恒有f′（x）＜0，那么y=f（x）在這個(gè)區(qū)間（a，b）內(nèi)單調(diào)遞減；
f′（x）﹥0 增函數(shù)
f′（x）＜0 減函數(shù)
判定函數(shù)單調(diào)性的常用方法：
（1）定義法
（2）導(dǎo)數(shù)法
（二）探究、
如圖，函數(shù)y=f（x）在a、b、c、d、e、f、g、h、i等點(diǎn)的函數(shù)值與這些點(diǎn)附近的函數(shù)值有什么關(guān)系，y=f（x）在這些點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值是多少？在這些點(diǎn)附近，y=f（x）的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有什么規(guī)律？
（三）：講授新課 a）函數(shù)極值的定義
1）函數(shù)y=f（x）在x=a處的函數(shù)值f（a）比它在點(diǎn)x=a附近其它各點(diǎn)的函數(shù)都小，我們就說f（a）是函數(shù)的一個(gè)極小值，點(diǎn)a叫做極小值點(diǎn)。
2）函數(shù)y=f（x）在x=b處的函數(shù)值f（b）比它在點(diǎn)x=b附近其它各點(diǎn)的函數(shù)值都大，我們就說f（b）是函數(shù)的一個(gè)極大值，點(diǎn)b叫做極大值點(diǎn)。
3）極大值點(diǎn)，極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，
4）極大值與極小值統(tǒng)稱為極值。
注：函數(shù)的極大值、極小值未必是函數(shù)的最大值、最小值。
即：極大值不一定等于最大值；極小值不一定等于最小值。
b)求函數(shù)的極值
1）如果b是f′（x）=0的一個(gè)根，并且在b的左側(cè)附近f′（x）﹥0，在右側(cè)f′（x）＜0，那么f（b）是函數(shù)f（x)的一個(gè)極大值。
2）如果a是f′（x）=0的一個(gè)根，并且在a的左側(cè)附近f′（x）＜0,在a右側(cè)附近f′（x）﹥0，那么f（a）是函數(shù)f（x）的一個(gè)極小值。
C）注意：
（1）函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點(diǎn)附近的小區(qū)間而言的，在函數(shù)的整個(gè)定義區(qū)間內(nèi)可以能有多個(gè)極大值或極小值。
（2）極大值不一定比極小值大，
（3）要區(qū)分極值與極值點(diǎn)；
（4）導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。
例：y=x3
d）求函數(shù)極值的一般步驟：
（1）確定函數(shù)的定義域
（2）求方程f′（x）=0的根
（3）用方程f′（x）=0的根，順次將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)開區(qū)間，并列成表格
（4）由f′（x）在方程f′(x)=0的根左右的符號(hào)，來判斷f（x）在這個(gè)根處取極值的情況。
口訣：左負(fù)右正為極小，左正右負(fù)為極大。
e）例題講解
例1：下圖是導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象，在標(biāo)記的點(diǎn)中，在哪一點(diǎn)處
（1）導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)有極大值？
x=x2
（2）導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)有極小值？
x=x1或x=x4
（3）函數(shù)y=f(x)有極大值？
x=x2
（4）函數(shù)y=f(x)有極小值？
x=x5
例2：求函數(shù)f（x）1/3x3-4x+4的極值
解：
因?yàn)閒（x）=1/3x3-4x+4，所以f′（x）=x2-4
令f′（x）=0，解得x=2，或x=-2。
當(dāng)f′（x）﹥0，即x﹥2，或x＜-2；
當(dāng)f′（x）＜0，即-2＜x＜2。
當(dāng)x變化時(shí)，f（x）的變化情況如下表：
| x | （-∞、-2） | -2 | （-2、2） | 2 | （2、+∞） |
| f′（x） | + | 0 | - | 0 | + |
| f（x） | 單調(diào)遞增 | 28/3 | 單調(diào)遞減 | -4/3 | 單調(diào)遞增 |
所以，當(dāng)x=-2時(shí)，f（x）有極大值28/3；
當(dāng)x=2時(shí)，f（x）有極小值-4/3。
例3：求下列函數(shù)的極值：
（1）f（x）=6x2-x-2； （2）f（x）=x3-27x，
解：
（1）f′（x）=12x-1，令f′（x）=0，解得x=1/12，列表：
| x | （ -∞，1/12） | 1/12 | （1/12，+∞） |
| f′（x） | - | 0 | + |
| f（x） | 單調(diào)遞減 | 單調(diào)遞增 |
所以，當(dāng)x=1/12時(shí)，f（x）有極小值f（1/12）=-49/24。
解：
（2）令f′（x）=3x2-27=0，解得x1=3，x2=-3列表：
| x | （ -∞，-3） | -3 | （-3，3） | 3 | （3，+∞） |
| f′（x） | 0 | 0 | |||
| f（x） |
（四）：課堂練習(xí)
求下列函數(shù)的極值
（1）f（x）=6+12x-x3； （2）f（x）=3x-x3。
（1）當(dāng)x=-2時(shí)，f（x）有極小值-10；
當(dāng)x=-1時(shí)，f(x)有極大值22。
（1）當(dāng)x=-2時(shí)，f（x）有極小值-2；
當(dāng)x=1時(shí)，f(x)有極大值2。
思考題：求函數(shù)y=1/4x4-4/3x3+2x2+5的極值
此內(nèi)容正在抓緊時(shí)間編輯中，請耐心等待
楊老師
女，中教高級職稱
教學(xué)功底扎實(shí)，教學(xué)經(jīng)驗(yàn)豐富，對知識(shí)體系有深厚的了解。
