課程內(nèi)容
《拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》
橢圓、雙曲線的第二定義
平面內(nèi)與一個定點(diǎn)的距離和一條定直線的距離的比是常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡。
當(dāng)0＜e＜1時，是橢圓；
當(dāng)e﹥1時，是雙曲線。
當(dāng)e=1時，它又是什么曲線呢？
1、拋物線的定義
平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條直線L的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線。
定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)；
定直線L叫做拋物線的準(zhǔn)線。
即：若∣MF∣/∣MN∣=1，則點(diǎn)M的軌跡的拋物線。
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)
用直尺，三角板，一條細(xì)繩，取繩長等于∣AC∣，把繩子兩端固定地點(diǎn)A和F上，用鉛筆尖扣著繩子，使點(diǎn)A到筆尖的一段繩子緊靠著三角尺，然后將三角尺沿著直尺上下滑動，毛尖就在圖板上描出了戔要曲線。
2、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
求曲線方程的基本步驟是怎么樣的？
建系 設(shè)點(diǎn) 列式 化簡 證明
2-1、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)
高一個定點(diǎn)到一條直線L的距離為常數(shù)P（P﹥0）即∣KF∣=P，如何建立直角坐標(biāo)系，求出拋物線的方程呢？
探索一：以L為y軸，過點(diǎn)F且垂直于L的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)F（P，0）。
設(shè)動點(diǎn)M（x,y）,由拋物線定義得
√（x-P）2+y2=∣x∣
化簡得y2=2Px-p2(P﹥0)
探索二：以定點(diǎn)F為原點(diǎn)，過點(diǎn)F且垂直于L的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，
由點(diǎn)F（0，0），L的方程為x=-P。
√x2+y2=∣x+P∣
化簡得
y2=2Px+P2(P﹥0)。
探索三：取過點(diǎn)F且垂直于L的直線為x軸，以線段KF的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系。
建立直角坐標(biāo)系，設(shè)∣KF∣=P（P﹥0）
那么焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（P/2,0）準(zhǔn)線L的方程為x=-P/2
設(shè)拋物線上的點(diǎn)M（x，y），則有
∣MF∣=∣MD∣√（x-P/2）2+y2=∣x+P/2∣
（x-P/2）2+y2=x2+Px+P2/2
y2=2Px（P﹥0）
表示焦點(diǎn)在x軸的正半軸上的拋物線。
一般地，我們把頂點(diǎn)在原點(diǎn)、焦點(diǎn)F在坐標(biāo)軸上的拋物線的方程叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
y2=2Px（P﹥0）
表示的拋物線，其焦點(diǎn)F位于x軸的正軸上，其準(zhǔn)線交于x軸的負(fù)半軸。
其中P為正常數(shù)，它的幾何意義是：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離（焦準(zhǔn)距）
焦點(diǎn)F：（P/2，0）準(zhǔn)點(diǎn)L的方程：x=-P/2
但是，一條拋物線，由于它在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置不同，方程也不同，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程一定有其它的形式。
| 圖象 | 開口方向 | 標(biāo)準(zhǔn)方程 | 焦點(diǎn) | 準(zhǔn)線 |
 |
向右 | y2=2Px（P﹥0） |
F=（P/2，0） | x=-（P/2） |
 |
向左 | y2=-2Px（P﹥0） |
F=（-P/2，0） | x=（P/2） |
 |
向上 | x2=2Py（P﹥0） |
F=（0，P/2） | y=-（P/2） |
 |
向下 | x2=-2Py（P﹥0） |
F=（0，-P/2） | y=（P/2） |
例1（1）已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=6x，求它有焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；
（2）已知拋物線的方程是y=6x2，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；
（3）已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（0，-2），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。
解：（1）因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸的正半軸上，P=3，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)是（3/2，0）準(zhǔn)線方程是x2=-3/2。
（2）因?yàn)閽佄锞€的標(biāo)準(zhǔn)方程x2=1/6 y，焦點(diǎn)在y軸的正半上，P=1/12，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0，1/24），準(zhǔn)線方程是y=-1/24。
（3）因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，并且P/2=2，P=4，所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2=-8y。
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朱老師
男，中教高級職稱
對高中數(shù)學(xué)的基本概念和整體知識結(jié)構(gòu)有清晰地把握，從高考的高度分析講解各大知識板塊。
