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課程內(nèi)容

《等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及其應(yīng)用》
練習(xí)：
1、若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)和為34，最后三項(xiàng)和為146，且所有項(xiàng)的和為390，則這個(gè)數(shù)列共有_______項(xiàng)。
2、已知兩個(gè)等差數(shù)列{a_n}{b_n}，它們的前n項(xiàng)和分別是S_n，T_n，若S_n/T_n=（2n+3）/（3n-1），求a₉/b₉。
等差數(shù)列的前n項(xiàng)和性質(zhì)：
1、已知{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，若b₁=a₁+a₂+…+a_k，b₂=a_k+1+a_k+2+…+a_2k，b₃=a_2k+1+a_2k+2+…+a_3k，…，
則：b₁，b₂，b₃，…，成等差數(shù)列，公差為kd。
（等差數(shù)列等分若干段后，各段和依序成等差數(shù)列。）
數(shù)列{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，則S_n=An²+Bn → S_n/n=An+B → {S_n/n}是等差數(shù)列，公差為A。
2、已知{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，則{S_n/n}是等差數(shù)列，公差為d/2。
等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值問題：
例1：在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=-60，a₁₇=-12，
（1）該數(shù)列第幾項(xiàng)開始為正？
（2）前多少項(xiàng)和最小，并求其最小值？
（3）求{a_n}前n項(xiàng)和S_n？
（4）求{|a_n|}前n項(xiàng)和T_n？
對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題有兩種方法：
（1）利用a_n：
當(dāng)a₁＞0，d＜0，前n項(xiàng)和有最大值（可由a_n≥0，且a_n+1≤0，求得n的值）。
當(dāng)a₁＜0，d＞0，前n項(xiàng)和有最小值（可由a_n≤0，且a_n+1≥0，求得n的值）。
（2）利用S_n：由S_n=（d/2）n²+（a₁-d/2）n二次函數(shù)配方法求得最值時(shí)n的值。
例2：已知等差數(shù)列{a_n}中，S_n為前n項(xiàng)和，a₃=12，且S₁₂＞0，S₁₃＜0。
（1）求公差d的取值范圍。
（2）前幾項(xiàng)和最大？并說明理由。
等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)和問題
結(jié)論：設(shè)數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且公差為d，
（Ⅰ）若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有2n項(xiàng)，則①S_偶-S_奇=nd；②S_奇/S_偶=a_n/a_n+1；
結(jié)論：設(shè)數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且公差為d，
（Ⅱ）若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有2n+1項(xiàng)，則①S_奇-S_偶=a_n+1=a_中；②S_奇/S_偶=（n+1）/n。
例3：在等差數(shù)列{a_n}中，前m項(xiàng)（m為奇數(shù)且m大于1）和為77，其中偶數(shù)項(xiàng)和為33，且a₁-a_m=18，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。
例4：已知等差數(shù)列{a_n}的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，且奇數(shù)的和為24，偶數(shù)項(xiàng)的和為30，最后一項(xiàng)與首項(xiàng)之差為10.5，求此數(shù)列的首項(xiàng)，公差及項(xiàng)數(shù)。