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九年級數學上冊第3章《對圓的進一步認識》3.7 正多邊形與圓（第一課時）
第三章《對圓的進一步認識》
3.7 正多邊形與圓
第一課時
你還記得什么叫正多邊形嗎？說出你常見的幾種正多邊形.
觀察與思考
觀察圖3-58中的正多邊形，思考下面的問題：
（1）它們都是軸對稱圖形嗎？如果是，分別畫出每個圖形所有的對稱軸.
并說出這些對稱軸是怎樣的直線.
（2）正三角形有幾條對稱軸？正四邊形、正五邊形、正六邊形呢？由此你能猜測正n邊形有幾條對稱軸嗎？
（3）通過畫圖，你發(fā)現正多邊形的各條對稱軸有怎樣的特征？由此你能推出正多邊形的什么性質？
（4）利用尺規(guī)作出一個正三角形的外接圓和內切圓，你發(fā)現正三角形的外接圓的圓心與內切圓的圓心有什么特征？
（5）畫出一個正方形，你能說出它的外接圓和內切圓的位置嗎？你發(fā)現正方形的外接圓與內切圓有什么特征？
（6）由（4）（5）你猜測正多邊形都有外接圓和內切圓嗎？如果有，它們的外接圓與內切圓有什么特征（圖3-59）？
正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形有n條對稱軸.
正多邊形的各條對稱軸相交于一點，這點到正多邊形的各個頂點的距離相等，到各邊的距離也相等.
任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓，圓心是各對稱軸的交點.
如圖3-60，正多邊形的外接圓和內切圓的公共圓心叫做正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，內
切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距（apothem）.
可以看出，正多邊形各邊所對的外接圓的圓心角都相等.正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中
心角，正n邊形的每個中心角都等于360°/n.
你能分別說出3-60中正方形與正六邊形的中心、半徑、邊心距和中心角的度數嗎？
（7）正n變形的n條半徑把正n變形分成了幾個怎樣的圖形？相應的邊心距把其中每一個圖形又分成了兩個怎樣的圖形？
（8）如果正三角形的邊長為a，那么它的外接圓的半徑r和內切圓的半徑d分別是多少？
例1
一個正六邊形花壇的半徑為R，求花壇的邊長a，周長p和面積S.
解
如圖3-61，ABCDEF為正六邊形.連接OA,OB,作OG⊥AB,垂足為點G,則OA=OB=R AB=a.
在等腰三角形AOB中，
∵∠GOB=1/2∠AOB=1/2×360°/6=30°，
∴a=2GB=2Rsin30°=R.
∴p=6R.
∵OG=Rcos30°=
,
,∴S=6S△AOB=6×1/2R×=
R2.
=R2.練習
1.下面的命題是真命題嗎？如果不是，請舉出一個反例.
（1）正多邊形的對稱軸是經過正多邊形的頂點和中心的直線；
（2）邊數為偶數的正多邊形，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形；
（3）既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的多邊形是正多邊形；
（4）有一個外接圓和一個內切圓的多邊形是正多邊形.
2.完成下表中正多邊形的計算，并把計算結果填入表內：
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崔老師
男，中教高級職稱
市優(yōu)秀教師、骨干教師，數學學科帶頭人。在教學中注重學生自學能力和數學思維能力的培養(yǎng)，教學成績突出。
