課程內(nèi)容
《函數(shù)的奇偶性》
1.觀察下面兩組圖形，它們是否也有對(duì)稱性呢？
(1)
(2)
二、嘗試探求
對(duì)于函數(shù)f(x)=x2，有f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1 f(-1)=f(1) f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4
f(-2)=f(2) f(-x)=(-x)2=x2
f(-x)=f(x)
結(jié)論：當(dāng)自變量x認(rèn)取定義域中的一對(duì)相反數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，即f(-x)=f(x)
請(qǐng)你嘗試給“偶函數(shù)”下一個(gè)定義：
如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x。都有f(x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫偶函數(shù)。
對(duì)于函數(shù)f(x)=x3，有f(-1)=(-1)3=1 f(1)=1 f(-1)=-f(1)
f(-2)=(-2)3=8 f(2)=8
f(-2)=f(2)
f(-x)=(-x)3=-x3
f(-x)=-f(x)
結(jié)論:當(dāng)自變量任取定義域中的兩個(gè)相反數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也互為相反數(shù)，即f(-x)=-f(x)
三、補(bǔ)充說(shuō)明
(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱式函數(shù)是奇、偶函數(shù)的先決條件。
(2)如果一個(gè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么我們就是說(shuō)函數(shù)f(x)具有奇偶數(shù)。奇偶性是函數(shù)在整個(gè)定義域上的性質(zhì)。
(3)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(-x)=-f(x)成立。
若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則f(-x)=f(x)成立。
(4)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。
偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱。
四、典例剖析
例1 判斷下列函數(shù)的奇偶性
(1)f(x)=x+1/x
解：定義域是{x/x≠0}
∵f(-x)=-x-1/x=-(x+1/x)
即f(-x)=-f(x)
∴f(x)為奇偶數(shù)
(2)f(x)=1/x2+1
解：定義域是R
∵f(-x)=1/(-x)2+1=1/x2+1
即f(-x)=f(x)
∴f(x)為偶函數(shù)
(3)f(x)=√ x
解：定義域?yàn)閇0.+x]
∵定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
∴f(x)為非奇非偶函數(shù)
(4)f(x)=2x+1
解：函數(shù)的定義域?yàn)镽 但是f(-x)=2(-x)+1=-2x+1
∴f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x)
∴f(x)為非奇非偶函數(shù)
(5)f(x)=0
解：定義域?yàn)镽
∵f(-x)=f(x)=0 又 f(-x)=-f(x)=-0=0
∴f(x)為既奇又偶函數(shù)
(6)f(x)=√1-x2/2-|x+2|
解：由1-x2≥0 -1≤x≤1
|x+2|≠0 得x≠0且x≠4即-1≤x≤1且x≠0
∴定義域?yàn)閇-1,0)U（0,1]
∴f(x)=√1-x2/2-(x+2)=√1-x2/x
∴f(-x)=-√1-(-x)2/-x=-√1-x2/x
五、歸納總結(jié)
1.根據(jù)奇偶性，函數(shù)可分為四類：
奇函數(shù)
偶函數(shù)
既奇又偶函數(shù)
非奇非偶函數(shù)
2.用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：
(1)先求出定義域，看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
(2)再判斷f(-x)或f(-x)=f(x)是否成立。
例2：已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)=x(1+x)，求x＜0時(shí)f(x)的表達(dá)式。
例3：已知f(x)為偶函數(shù)且在（0，+∞）上是減函數(shù)，試判斷f(x)在（-∞，0）上是增函數(shù)還是減函數(shù)？并證明你的判斷。
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常老師
女，中教中級(jí)職稱
從教30年，數(shù)學(xué)教研組長(zhǎng)，省級(jí)“先進(jìn)教育工作者”、優(yōu)秀教師，市級(jí)骨干教師、“教學(xué)標(biāo)兵”。
