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九年級數(shù)學(xué)上冊第3章《對圓的進(jìn)一步認(rèn)識》3.4 直線與圓的位置關(guān)系（第三課時）
第三章《對圓的進(jìn)一步認(rèn)識》
3.4 直線與圓的位置關(guān)系
第三課時
你能說出切線的判定定理的逆命題嗎？這個逆命題是真命題還是假命題？如果是真命題，你能給出證明嗎？
已知：如圖3-40，直線l與⊙O相切與點A.
求證：OA⊥l.
證明
如圖3-40，假設(shè)l與半徑OA不能垂直，過點O作OB⊥直線l，垂足為點B.在l上取BA=BA，且使B點在A與A′之間，連
接OA′.于是OB垂直平分AA′，OA=OA′.
∵點A是切點，OA是⊙O的半徑.
∴OA′也是⊙O的半徑.
這就是說，直線l與⊙O有兩個公共點，即l與⊙O相交，這與已知條件“直線l與⊙O相切與點A"矛盾，所以O(shè)A⊥l.
由此得到
切線的性質(zhì)定理
圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.
反證法：
幾何語言：
∵直線l為⊙O切線且A為⊙O切點.
∴OA⊥l.
例3
A,B,C是⊙O上的三點，經(jīng)過點A,點B分別作⊙O的切線，兩切線相交于點P，如果∠P=42°，求∠ACB的度數(shù).
解
（1）如圖3-41，當(dāng)C在
上時，連接OA,OB.
上時，連接OA,OB.∵PA,PB是⊙O的切線，A,B是切點，
∴∠OAP=∠OBP=90°.
在四邊形OAPB中，
∵∠P=42°，
∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P
=360°-90°-90°-42°=138°.
∴∠ACB=1/2∠AOB=1/2×138°=69°.
（2）如圖3-42，當(dāng)C在劣弧
上時，在優(yōu)弧
上任取一點C′,連接AC′,BC′.
上時，在優(yōu)弧上任取一點C′,連接AC′,BC′.由（1）知，∠AC′B=69°，
在圓內(nèi)接四邊形ACBC′中，
∵∠ACB+∠AC′B=180°.
∴∠ACB=180°-∠AC′B=180°-69°=111°.
練習(xí)
1.如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，直線BE切⊙O于點B.求證：∠A=∠CBE.
證明：
∵AB為⊙O直徑，
∴∠ACB=90°
∴∠CAB+∠CBA=90°
∵直線BE切⊙O于點B.
∴∠ABE=90°
∴∠ABC+∠CBE=90°
∴∠A=∠CBE.
2.如圖，AB是⊙O的弦，AO的延長線交過點B的⊙O的切線于C，如果∠A=20°，求∠C的度數(shù).
拓展與延伸
11.如圖，PC是⊙O的切線，C是切點，PO交⊙O于點A,過點A的切線交PC于點D,CD:DP=1：2，AD=2cm.求⊙O的半徑.
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崔老師
男，中教高級職稱
市優(yōu)秀教師、骨干教師，數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人。在教學(xué)中注重學(xué)生自學(xué)能力和數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，教學(xué)成績突出。
