課程內(nèi)容:
《圓的一般式方程》
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(x-a)2+(y-b)2=r2
把它展開得到:x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0
任何圓的方程都可以通過展開化成形如:
x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程 ①
請大家思考一下:形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲線是不是圓?
將①配方法,得: ②
(1)當(dāng)D2+E2-4F>0時,②表示以為圓心,以
為半徑的圓;此時①稱作圓的一般方程。
即稱形如x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)的方程為圓的一般方程。
(2)當(dāng)D2+E2-4F=0時,方程②表示一個點;
思考:我們學(xué)習(xí)了圓的一般方程和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,請大家比較這兩種方程,并歸納它們各自的特點?
(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程帶有明顯的幾何的影子,圓心和半徑一目了然;
(2)圓的一般方程表現(xiàn)出明顯的代數(shù)的形式與結(jié)構(gòu),更適合方程理論的運用。
例1.求過三點O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圓的方程,并求這個圓的半徑長和圓心坐標(biāo)。
求圓的方程常用“待定系數(shù)法”,用“待定系數(shù)法”求圓的方程的大致步驟是:
①根據(jù)題意,選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程;
②根據(jù)條件列出關(guān)于a,b,r或者D,E,F(xiàn)的方程組;
③解出a,b,r或D,E,F(xiàn),代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程。
關(guān)于何時設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,何時設(shè)圓的一般方程:一般說來,如果由已知條件容易求圓心的坐標(biāo)、半徑或需要用圓心的坐標(biāo)、半徑列方程的問題,往往設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;如果已知條件和圓心坐標(biāo)或半徑都無直接關(guān)系,往往設(shè)圓的一般方程。
例2.求圓心在直線l:x+y=0上,且過兩圓C1:x2+y2-2x+10y-24=0,C2:x2+y2+2x+2y-8=0的交點的圓的方程。
練習(xí):
1.求下列各圓的一般方程:
(1)過點A(5,1),圓心在點C(8,-3)
(2)過三點A(-1,5),B(5,5),C(6,-2)
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岳老師
男,中教高級職稱
執(zhí)教以來,一直擔(dān)任數(shù)學(xué)教學(xué)工作。在工作中注重對教學(xué)方法的探索,對教育方式的研究。