課程內容
《冪函數(shù)》
問題引入：我們先看幾個具體問題：
（1）如果張紅購買了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p=______元。
（2）如果正方形的邊長為a，那么正方形的面積S=______。
（3）如果立方體的邊長為a，那么立方體的體積V=______。
（4）如果一個正方形場地的面積為S，那么這個正方形的邊長a=______。
（5）如果人t s內騎車行進了1km，那么他騎車的平均速度V=______km/s。
若將它們的自變量全部用x來表示，函數(shù)值用y來表述，則它們的函數(shù)關系式將是什么，分別寫出來。
定義：一般地，函數(shù)y=xa叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，a是常量。
幾點說明：
1、對于冪函數(shù)，我們只討論a=1,2,3,1/2,-1時的情形。
2、冪函數(shù)不像指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，其定義域隨a的不同而不同。
冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的對比
式子 a x y
指數(shù)函數(shù)：y=ax 底數(shù) 指數(shù) 冪值
冪函數(shù)：y=xa 指數(shù) 底數(shù) 冪值
判斷一個函數(shù)是冪函數(shù)還是指數(shù)函數(shù)切入點：
看看未知數(shù)x是指數(shù)還是底數(shù)。
例1：判斷下列函數(shù)是否為冪函數(shù)。
（1）y=x4 （4）y=x1/2
（2）y=1/x2 （5）y=2x2
（3）y=-x2 （6）y=x3+2
1、冪函數(shù)的解析式必須是y=xk的形式，其特征可歸納為“兩個1”：系數(shù)為1，只有1項。
2、定義域與k的值有關系。
作出下列函數(shù)的圖象：
y=x2 y=x3 y=x y=x1/2
從圖象能得出他們的性質嗎？
幾個冪函數(shù)的性質：
定義域 值域 奇偶性 單調性 公共點
y=x R R 奇函數(shù) 增函數(shù) （0,0）（1,1）
y=x2 R y≥0 偶函數(shù) （0,0）（1,1）
y=x3 R R 奇函數(shù) 增函數(shù) （0,0）（1,1）
y=x1/2 x≥0 y≥0 非奇非偶 增函數(shù) （0,0）（1,1）
y=x-1 x≠0 y≠0 奇函數(shù) （1,1）
冪函數(shù)的性質：
冪函數(shù)的定義域、奇偶性、單調性，因函數(shù)式中k的不同而各異。
1、所有的冪函數(shù)在（0，+∞）都有定義，并且函數(shù)圖象都通過（1,1）；
2、如果k＞0，則冪函數(shù)的圖象過點（0,0）（1,1），并在（0，+∞）上為增函數(shù)；
3、如果k＜0，則冪函數(shù)的圖象過點（1,1），并在（0，+∞）上為減函數(shù)。
練習
1、求下列冪函數(shù)的定義域：
（1）y=x2/5 （2）y=x
（3）y=x3/4 （4）y=x2
2、已知冪函數(shù)y=f（x）的圖象過點（2,√2），試求出這個函數(shù)的解析式。
3、如果函數(shù)f（x）=（m2-m-1）xm2-2m-3是冪函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）內是減函數(shù)，求滿足條件的實數(shù)m的集合。
例2：證明冪函數(shù)f（x）=√x在（0，+∞）上是增函數(shù)。
思考：已知冪函數(shù)y=f（x）的圖象過點（2,√2/2），試求出此函數(shù)的解析式，并判斷奇偶性、單調性。
例3：利用單調性判斷下列各值的大小。
（1）5.20.8與5.30.8
（2）0.20.3與0.30.3
（3）2.5-2/5與2.7-2/5
（4）（-√2/2）2/3、（-10/7）2/3、1.14/3
練習
（1）1.30.5_____1.50.5
（2）5.1-2_____5.09-2
（3）-1.791/4_____-1.811/4
（4）（2+a2）-2/3_____2-2/3
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孫老師
女，中教高級職稱
優(yōu)秀教師，高級教師職稱。善于引導、啟發(fā)學生，培養(yǎng)學生的邏輯思維，激發(fā)孩子對數(shù)學學習的興趣。
